División de Polinomios (2° Secundaria)

División de polinomios:

a. Caso general: (1)

1. Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes pasos :
2. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.
3. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.
4. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
5. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.
6. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.
7. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :

Solución: Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente :

6x5 – 21x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7			3x4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1
- 6x5 – 0x4 – 0x3 + 4x2 – 2x			2x - 7
	-21x4 – 13x3 + 29x2 – 14x + 7
	21x4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7
	-13x3 + 29x2 – 28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13x³ + 29x² – 28x + 14

(1).- Metodo Clasico o Normal. División de los Polinomios. Productos notables.http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

Referencias:

• http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/16_EA_Division_polinomios_b.pdf
• http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm
• http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm

b. Aplicando el método de los coeficientes separados.

Metodod de coeficientes separados: (2)

1. En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :
2. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.
3. En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.
4. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

q° = D° - d

r° = d – 1

Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo : Efectuar la siguiente división :

Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

Luego :

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° - d° = 5 – 2 = 3

El cociente es q = 2x³ – 6x² – 7x + 8

el de grado : r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

(2). Metodos de loc Coeficientes Separados. Estudio de los metodos. Productos Notables. http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

Referencias:

• http://usuarios.lycos.es/calculo21/id130.htm
• http://www.informacion-util.com.ar/trabajos.php?load=16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO
• http://usuarios.lycos.es/calculo21/id70.htm

c. Aplicando el método de Horner

(3)

(3).- Metodo de Horner. Preprocesamiento. Algoritmos Numéricos. http://decsai.ugr.es/~verdegay/tema-15.pdf

Referencias:

• http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO
• http://homepage.mac.com/eravila/complejidad.pdf
• http://www.ehu.es/mae/docencias/mn.html

d. Método de Ruffini: casos

Primero: (4)

¿Quien fue Ruffini?

El gran matemático italiano, Pablo Ruffini (1765 – 1822) ideó un procedimiento esquemático para hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio cualquiera por otro de la forma x – a.

Este procedimiento que tiene una disposición práctica muy simple, se conoce con el nombre de

Regla de Ruffini.

Regla de Ruffini:

(4). Metodo de Ruffini. Divición de Polinomios. Documentos pdf.http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/16_EA_Division_polinomios_b.pdf

Referencias:

• http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom2.htm#ruffini
• http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomios2.htm
• http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.6.html

e. Teorema del resto o Descartes

Teorema del Resto. (5).

(5).- Teorema del Resto. Divición de Polinomios. Documentos pdf.http://www.ing.unlp.edu.ar/decanato/ingreso/ing02/Material/16_EA_Division_polinomios_b.pdf
Referencias:

• http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom2.htm#ruffini
• http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm
• http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm

Los Números Enteros (1° Secundaria)

Números enteros (Z)

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejermplos : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).

5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

– 14 + 34 = 20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma y

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: –3 – 10 = –3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 – – 16 = 19 + ⁺ 16 = 19 + 16 = 35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+ • + = +

– • – = +

+ • – = –

– • + = –

Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )

12 • – 4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: + • – = – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Aplicaciones de Números Enteros en la Vida Diaria.

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

Para medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua se congela.

Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos.

Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

Miscelaneas de Ejercicios 2do Bimestre

Miscelnea de Algebra 2do bimestre

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Miscelnea de aritmética 2do bimestre

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Habilidad Matemática

En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9 sin repetirse ninguno (uno en cada cuadro). Disponemos de las siguientes pistas:

- Los vecinos del 1 suman 15

- Los vecinos del 2 suman 6

- Los vecinos del 4 suman 23

- Los vecinos del 5 suman 16

- Sobre los vecinos del 6,7,8, y 9 no tenemos datos.

Un número es vecino de otro solo si la casilla en la que este está comparte alguno de sus lados con el otro.

¿ Qué número ocupará la casilla central?

Curiosidad Matematica...

Sabias porque...

Los números que escribimos están compuestos por algoritmos arábigos, por ejemplo: 1,2,3,4,etc. para distinguirlos de los algoritmos romanos, por ejemplo: I, II, III, IV,etc.

Los árabes popularizaron estos algoritmos pero su origen se remonta a los comerciantes fenicios que los usaban para contar y anotar su contabilidad comercial.

Si nos preguntáramos: ¿por qué el "1" significa "uno", el "2" significa "dos", etc.?

¿Cuál es la lógica que existe en los algoritmos arábigos?

La respuesta es: ¡Fácil! ¡Muy fácil! ¡SON ÁNGULOS!

Mirá estos algoritmos escritos en su forma primitiva y comprobalo:

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Paz y Bien alumnas...

Ya pueden descargar la Miselanea de ejercicios. Lo único que tienen que hacer es ir a la pagina de DESCARGAS del blog y allí encontrarán los archivos. hacen click en el que deseen descargar y les aparecerá un ventana para que escojan la ruta de su PC en que desean guardar el archivo, una vez seleccionada la ruta aceptan y el archivo es descargado. Cualquier dificultad dejan un comentario en el blog para poder solucionarlo.

Atte. Prof. Gerardo Tocto Gallo.